因式分解_因式分解12个公式

因式分解_因式分解12个公式 1.怎么进行因式分解？
2.因式分解的八大公式都有哪些呢？
3.什么叫因式分解？
4.什么叫因式分解?

怎么进行因式分解？

       因式分解是将一个多项式化为几个整式的乘积形式，以下是具体方法及步骤：

1. 提公因式法

核心：提取多项式各项的公共因式。步骤：

       观察多项式各项，找出公因式（系数最大公约数、相同字母的最低次幂）。

       将公因式提出后，剩余部分用括号括起，形成乘积形式。

示例：分解 (6x^2y + 9xy^2)公因式为 (3xy)，结果为 (3xy(2x + 3y))。

2. 应用公式法

平方差公式：

形式：(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b))

适用条件：多项式为两项，且均为平方项相减。

示例：分解 (x^2 - 25)结果为 ((x + 5)(x - 5))。

完全平方公式：

形式：(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2)(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2)

适用条件：多项式为三项，首末两项为平方项，中间项为两倍乘积。

示例：分解 (x^2 + 6x + 9)结果为 ((x + 3)^2)。

3. 十字交叉法

核心：将二次三项式 (ax^2 + bx + c) 分解为 ((mx + p)(nx + q))。步骤：

       列出 (a) 的因数 (m, n) 和 (c) 的因数 (p, q)。

       交叉相乘后相加，若结果等于 (b)，则分解成立。

示例：分解 (2x^2 + 7x + 3)因数组合为 (2 = 1 times 2)，(3 = 1 times 3)，交叉相乘 (1 times 3 + 2 times 1 = 7)，结果为 ((2x + 1)(x + 3))。

4. 综合法

核心：结合提公因式、公式法等多种方法分解复杂多项式。步骤：

       先观察是否可提公因式。

       剩余部分是否符合公式法条件，逐步分解。

示例：分解 (3x^3 - 12x^2 + 12x)

       提公因式 (3x)，得 (3x(x^2 - 4x + 4))。

       括号内用完全平方公式，结果为 (3x(x - 2)^2)。

5. 整体法

核心：将多项式中的某部分视为整体，应用公式法。步骤：

       识别可整体替换的部分（如 (x^2 + 2x) 可视为 ((x^2 + 2x + 1) - 1)）。

       对整体应用公式后简化。

示例：分解 ((x^2 + 2x)^2 - 8(x^2 + 2x) + 12)

       令 (y = x^2 + 2x)，原式变为 (y^2 - 8y + 12)。

       分解为 ((y - 2)(y - 6))，代回得 ((x^2 + 2x - 2)(x^2 + 2x - 6))。

注意事项：

因式分解需灵活运用多种方法，复杂式子常需综合法。初中阶段因式分解是计算基础，需通过练习掌握技巧。

因式分解的八大公式都有哪些呢？

       因式分解的八大公式如下：

       1、平方差公式：a²—b²=（a+b）（a—b）。

       2、完全平方公式：a²+2ab+b²=（a+b）²。

       3、立方和公式：a³+b³=（a+b）（a²—ab+b²）。

       4、立方差公式：a³—b³=（a—b）（a²+ab+b²）。

       5、完全立方和公式：a³+3a²b+3ab²+b³=（a+b）³。

       6、完全立方差公式：a³—3a²b+3ab²—b³=（a—b）³。

       7、长除法公式。

       8、短除法公式。

       因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。

       因式分解方法灵活，技巧性强。学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。

因式分解与解高次方程有密切的关系

       对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。

       对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。

什么叫因式分解？

       整式乘法与因式分解的关系是：两者都是整式变形，两者互为逆变形。因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。

因式分解的原则：

       1、分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。

       2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。

       3、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。

       4、结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

       5、结果的多项式首项一般为正。在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子。

       6、括号内的首项系数一般为正。

       7、如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。如（b+c)a要写成a(b+c)。

什么叫因式分解?

       å› å¼åˆ†è§£

       å› å¼åˆ†è§£ï¼ˆfactorization）

       å› å¼åˆ†è§£æ˜¯ä¸­å­¦æ•°å­¦ä¸­æœ€é‡è¦çš„恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．

       â‘´æå…¬å› å¼æ³•

       â‘ å…¬å› å¼ï¼šå„项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.

       â‘¡æå…¬å› å¼æ³•ï¼šä¸€èˆ¬åœ°ï¼Œå¦‚果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

       am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

       â‘¢å…·ä½“方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.

       â‘µè¿ç”¨å…¬å¼æ³•

       â‘ å¹³æ–¹å·®å…¬å¼ï¼š. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)

       â‘¡å®Œå…¨å¹³æ–¹å…¬å¼ï¼š a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2

       â€»èƒ½è¿ç”¨å®Œå…¨å¹³æ–¹å…¬å¼åˆ†è§£å› å¼çš„多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

       â‘¢ç«‹æ–¹å’Œå…¬å¼ï¼ša^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).

       ç«‹æ–¹å·®å…¬å¼ï¼ša^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).

       â‘£å®Œå…¨ç«‹æ–¹å…¬å¼ï¼š a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3

       â‘¤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

       a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)

       â‘¶åˆ†ç»„分解法

       åˆ†ç»„分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.

       åˆ†ç»„分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.

       â‘·æ‹†é¡¹ã€è¡¥é¡¹æ³•

       æ‹†é¡¹ã€è¡¥é¡¹æ³•ï¼šæŠŠå¤šé¡¹å¼çš„某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.

       â‘¸åå­—相乘法

       â‘ x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解

       è¿™ç±»äºŒæ¬¡ä¸‰é¡¹å¼çš„特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

       â‘¡kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

       å¦‚果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么

       kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）

       a \-----/b ac＝k bd＝n

       c /-----\d ad＋bc＝m

       â€» 多项式因式分解的一般步骤：

       â‘ å¦‚果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

       â‘¡å¦‚果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

       â‘¢å¦‚果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

       â‘£åˆ†è§£å› å¼ï¼Œå¿…须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

       (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。

       ç»å…¸ä¾‹é¢˜ï¼š

       1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2

       è§£ï¼šåŽŸå¼=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

       =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

       =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

       =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]

       =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

       =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

       =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

       2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33

       x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

       è§£ï¼šåŽŸå¼=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

       =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

       =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

       =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

       =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

       å½“y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立

       å› å¼åˆ†è§£çš„十二种方法

       æŠŠä¸€ä¸ªå¤šé¡¹å¼åŒ–成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：

       1、 提公因法

       å¦‚果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

       ä¾‹1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)

       x -2x -x=x(x -2x-1)

       2、 应用公式法

       ç”±äºŽåˆ†è§£å› å¼ä¸Žæ•´å¼ä¹˜æ³•æœ‰ç€äº’逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

       ä¾‹2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)

       è§£ï¼ša +4ab+4b =（a+2b）

       3、 分组分解法

       è¦æŠŠå¤šé¡¹å¼am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)

       ä¾‹3、分解因式m +5n-mn-5m

       è§£ï¼šm +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

       = (m -5m )+(-mn+5n)

       =m(m-5)-n(m-5)

       =(m-5)(m-n)

       4、 十字相乘法

       å¯¹äºŽmx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

       ä¾‹4、分解因式7x -19x-6

       åˆ†æžï¼š 1 -3

       7 2

       2-21=-19

       è§£ï¼š7x -19x-6=（7x+2）(x-3)

       5、配方法

       å¯¹äºŽé‚£äº›ä¸èƒ½åˆ©ç”¨å…¬å¼æ³•çš„多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

       ä¾‹5、分解因式x +3x-40

       è§£x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

       =(x+ ) -( )

       =(x+ + )(x+ - )

       =(x+8)(x-5)

       6、拆、添项法

       å¯ä»¥æŠŠå¤šé¡¹å¼æ‹†æˆè‹¥å¹²éƒ¨åˆ†ï¼Œå†ç”¨è¿›è¡Œå› å¼åˆ†è§£ã€‚

       ä¾‹6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

       è§£ï¼šbc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

       =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

       =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

       =(c+b)(c-a)(a+b)

       7、 换元法

       æœ‰æ—¶åœ¨åˆ†è§£å› å¼æ—¶ï¼Œå¯ä»¥é€‰æ‹©å¤šé¡¹å¼ä¸­çš„相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

       ä¾‹7、分解因式2x -x -6x -x+2

       è§£ï¼š2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

       =x [2(x + )-(x+ )-6

       ä»¤y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6

       = x [2(y -2)-y-6]

       = x (2y -y-10)

       =x (y+2)(2y-5)

       =x (x+ +2)(2x+ -5)

       = (x +2x+1) (2x -5x+2)

       =(x+1) (2x-1)(x-2)

       8、 求根法

       ä»¤å¤šé¡¹å¼f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

       ä¾‹8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

       è§£ï¼šä»¤f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

       é€šè¿‡ç»¼åˆé™¤æ³•å¯çŸ¥ï¼Œf(x)=0根为 ，-3，-2，1

       åˆ™2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

       9、 图象法

       ä»¤y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

       ä¾‹9、因式分解x +2x -5x-6

       è§£ï¼šä»¤y= x +2x -5x-6

       ä½œå‡ºå…¶å›¾è±¡ï¼Œè§å³å›¾ï¼Œä¸Žx轴交点为-3，-1，2

       åˆ™x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

       10、 主元法

       å…ˆé€‰å®šä¸€ä¸ªå­—母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

       ä¾‹10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

       åˆ†æžï¼šæ­¤é¢˜å¯é€‰å®ša为主元，将其按次数从高到低排列

       è§£ï¼ša (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

       =(b-c) [a -a(b+c)+bc]

       =(b-c)(a-b)(a-c)

       11、 利用特殊值法

       å°†2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

       ä¾‹11、分解因式x +9x +23x+15

       è§£ï¼šä»¤x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

       å°†105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7

       æ³¨æ„åˆ°å¤šé¡¹å¼ä¸­æœ€é«˜é¡¹çš„系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值

       åˆ™x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

       12、待定系数法

       é¦–先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

       ä¾‹12、分解因式x -x -5x -6x-4

       åˆ†æžï¼šæ˜“知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

       è§£ï¼šè®¾x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

       = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

       æ‰€ä»¥ 解得

       åˆ™x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)